Le paradis de Cantor

Publié le par chatnoir

  Je devais avoir dans les quatre ou cinq ans. Le soir avant de dormir, je m'imaginais marcher dans la rue Didouche et poursuivre sur Ben Mhidi qui n'était pas encore piétonne. Je me voyais parcourir ce long périple à la recherche du bout du monde. Au-delà du bout du bout de BenMhidi, j'ignorais ce qu'il y avait. Je demandais à ma grand-mère, qui avait la qualité de ne jamais rire aux questions de enfants et d'y répondre le plus sérieusement du monde (d'ailleurs, vous papas et mamans, ne riez pas aux questions des enfants où ils cesseront de vous en poser des sérieuses), « Où finit le monde ? ». Elle me répondait à sa façon : « Le monde va finir un jour et nous allons tous rejoindre le paradis ou l'enfer, yaoum el qiyama ». J'ai pas demandé quand ? j'ai demandé où ?

Je ne savais pas encore que le temps et l'espace étaient indissociables mais apparemment, ma grand-mère savait.

Comme tout être humain, j'avais une fascination instinctive pour l'infini. Çui-là qui ressemble à un huit couché et qu'on apprend mécaniquement au lycée. Çui-là qui est plus grand que tout ce qu'on peut imaginer de grand. Celui qu'on précède d'un article défini parce qu'il est UN comme Dieu. Cette notion philosophique qui échappe à l'entendement humain pour aller s'ajouter aux attributs de l'Unique.

La plupart des gens connaissent des révolutions scientifiques les objets technologiques qui les entourent. Les génies des temps modernes s'appellent Steve Jobs et leur grand esprit se matérialise au creux de votre main ou contre votre oreille. Tout au plus l'homme de la rue sait qu'il y a eu des révolutions dans le domaine de physique, quelqu'un qui s'appelle Einstein. Mais dans les mathématiques, ben dans les maths, il n'y a pas de stars qui font vibrer les foules.

Pourtant !

Faisons comme dans ces émissions de vulgarisation scientifique où on prend un naïf qui n'a l'air de rien comprendre à rien et un malin qui a toutes les réponses. Le naïf est naïf mais il connaît les nombres entiers, 0,1,2,3,... et les points de suspension vont très loin, traversent Didouche et vont au delà de Ben M'hidi... Le naïf connaît aussi les nombres entiers pairs 0,2,4,6,... La naïf hoche allègrement la tête parce que jusque là il est censé tout comprendre. C'est le moment que le malin choisit pour poser sa question : « Selon toi, il y a plus de nombres entiers ou de nombres entiers pairs ? ». Le naïf cherche le piège. La question est trop simple. Il finit par répondre : « Ben y a plus d'entiers que d'entiers pairs puisque les entiers contiennent les entiers pairs. ». « Combien y en a-t-il de plus ? Demande le malin qui fait le malin ». « Ben, je ne sais pas, il y a deux fois plus d'entiers que d'entiers pairs. ». « Combien y a-t-il d'entiers pairs ? ». La naïf se gratte la tête et répond : « Un nombre infini. ». « Et deux fois plus que l'infini, ça fait quoi ? ». Silence du naïf qui voit maintenant le piège. Le malin ramène alors sa science : « Leurs nombres sont tous les deux infinis donc il y en a autant. » Premier choc  : la partie est égale à son tout. L'infini ébranle un des principes les plus intuitifs de l'être humain.

Mais ce n'est pas tout. Le malin n'a pas tout dit ou peut-être qu'il ne sait pas. Questionnons le. Lui, il connaît les nombres réels. Ces nombres qui permettent d'exprimer toutes les quantités, toutes les longueurs, tous les poids, toutes les mesures. Y en a-t-il autant ou plus que les entiers ? Leurs nombres sont infinis tous les deux ? Et alors ? Le petit malin ne fait plus le malin ou alors il a déjà visité le paradis de Cantor.

Dans les fondations de son paradis Cantor a mis un pilier solide et simple : La bijection. Imaginez un stade où il y a un très grand nombre d'hommes et de femmes. Vous voulez savoir s'il y a plus d'hommes ou plus de femmes sans les compter. Demandez leurs de former des couples hétérosexuels. Si tous les hommes sont en couple et qu'il reste des femmes c'est qu'il y a plus de femmes et vice versa. En revanche, si tout le monde a trouvé l'âme sœur, il sont en nombres égaux. On dit qu'on a trouvé une bijection entre l'ensemble des hommes et l'ensemble des femmes.

Mariez chaque nombre entier avec son double et vous définissez une bijection entre l'ensemble des entiers et celui des entiers pairs. Ils peuvent se marier sans laisser de célibataire sur le carreau donc ils sont en nombres égaux. Et à ce génie de Cantor de démontrer par une des preuves les plus élégantes des mathématiques, qu'il est impossible de marier les nombres réels et les nombres entiers sans laisser de réels dans la solitude. L'infini des réels est plus grand que l'infini des entiers. Quoi ? Il y aurait deux infinis l'un plus infini que l'autre ? Et alors l'Infini avec majuscule, l'Un, l'Unique ? Il n'est pas unique. Pire, il y a un infini encore plus grand que l'infini des réels et... plus loin que Didouche, plus loin que Ben M'hidi, il y a une infinité d'infinis de plus en plus infinis.

Les véritables révolutions sont celles qui bousculent les certitudes, celles qui mettent à jour des paradoxes dans ce qu'on croyait êtres des évidences.

C'est ainsi qu'en domptant l'infini, en le conjuguant au pluriel, Cantor ébranla l'édifice des mathématiques et au delà des mathémaitques, la philosophie et la religion. Il en fut ébranlé lui-même puisqu'il a fini de dépression en dépression dans un asile psychiatrique. Comme toute révolution qui bouscule les certitudes, celle de Cantor ébranla tant de mathématiciens de son époque qu'il fut l'objet d'attaques virulentes même de la part des plus éminents d'entre eux comme Poincaré et Kronecker qui bâtissait tout sur les nombres entiers : « Dieu a crée les nombres entiers, le reste est une œuvre humaine » disait-il.

 

Hilbert dira plus tard : « Personne ne nous chassera du paradis de Cantor ». De nos jours plus personne ne fait sérieusement de mathématiques sans y entrer.

Publié dans Torturé

Commenter cet article

clovis simard 15/05/2013 21:14


CANTOR, DIEU et L'INFINI(fermaton.over-blog.com)

Plastic Bertrand 26/01/2012 20:38


Salut Chat Noir, génial ton article.(comme d'habitude, ou presque)


Je ne connaissais pas Cantor, ta pédagogie m'as rappelé une serie de BD (qui se vendaient à Alger mi-70, entre Didouche et Amirouche), qui a déterminé ma vocation.Particulierement: le
Géométricon.


J'ai retrouvé ça sur internet http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/free_downloads.htm#francais


Toujours un plaisir de te lire. (enfin, presque toujours).


A plus.

chatnoir 27/01/2012 19:13



Je sens à la lecture de ton commentaire que ça plane pour moi (ou presque)...


Je connais les BD de Jean Pierre Petit et je les apprécie particulièrement dans les domaines que je ne connais pas comme la finance. Bien que le bonhomme soit légèrement controversé en raison de
ses théories scientifiques comment dire... un peu audacieuses. Il cherche les extraterrestres, aux dernières nouvelles.



Farasha 25/01/2012 22:30


Oula!  toi habit thabalni  SI c'est une bijection ALORS il ya autant d'homme que de femme implique  les ensembles sont egaux a un instant t


pas de celib ce n'est pas le reve de chaque société, parcontre zawadj elmot3a ça l'est


yakhi chat de schrodinger va 

Farasha 24/01/2012 23:19


 mes neuronnes sont tout émoustillés après la lecture de cet article "masterpiece" j'adore j'adore et j'adore j'ai
tjr regreter que nos cours de maths et de physique soit dispencées de façon vulgaire et sans ame.franchement qui n'aurais pas aimer étudier "elqadaif" avec angry bird ?hein 


"Kronecker : « Dieu a crée les nombres entiers, le reste est une œuvre humaine » " chouuuuuuf a sidi !  On considere que Dieu est le createur de ce monde et donc de la nature et que celle ci
est souvant proportionée suivant le nombre d'or, ceci implique que "Dieu a crée un nombre irrationel" (contre exemple)


j'arrive a comprendre cantor bessah je bloque dans ton illustration de sa theorie des ensemble fahamniiiii sinon je ne dormirai pas  : si je prend l'ensemble des hommes comme ensemble de
dépar et les femmes ensemble d'arrivé, et l'application etant "ame soeur" alors pour chaque h il existe une seul et unique  f et vice versa sauf si tu considere ohhhh c bon j'ai trouvé
hahahahaha c geniale t'es un genie , tu consideres que h peux etre l'ame soeur de h ou f peut etre l'ame soeur de f et ainsi chacun y trouve son compte "et nul ne sera exclu du paradis de
cantor"?!! c sa???? lol qoli 


un jour j'arriverai au paradis de Cantor en attendant je monte ces escaliers...


Ps: ta grand mere n'était pas une ex a Einstein ? si c'est le cas rajoute la a la liste de femmes dont je suis jalouse  :p

chatnoir 25/01/2012 19:05



Ah tu bloques sur l'exemple du mariage comme illustration de l'application biunivoque... C'est un mariage classique hétérosexuel sans polygamie ni polyandrie qui ne laisse aucun célibataire dans
la solitude, le rêve de toute société et de ma grand-mère... à un détail prêt, il ne dure vraiment que le temps d'une démonstration... On peut le rapprocher de ce point de vue de zawaj el
mout3a...



Dz-Chick 24/01/2012 10:40


A quand un article sur l'enfer de Dante?

chatnoir 24/01/2012 20:03



ça m'inspire pas trop ça... Rissalat al ghofrane de Abu Al Alaa peut-être